Exercices Corrigés
Algèbre Linéaire Tome I : Pratique Fondamentale
Par Joseph Grifone et Maxime Najac
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Errata & Correctifs
Transparence et rigueur : suivi des corrections du premier tirage de la 1ère édition (second tirage prévu septembre 2026)
Cette section regroupe les correctifs officiels apportés par Joseph Grifone et Maxime Najac pour le premier tirage de la première édition du Tome I d'Algèbre Linéaire. Un grand merci aux lecteurs qui contribuent à l'amélioration de cet ouvrage.
| Page | Réf. | Erreur constatée | Correction apportée | Merci à |
|---|---|---|---|---|
| p. 2 | Sommaire / Début de l'ouvrage | La numérotation des pages redémarre à 1 après la page 8 (Notations). | La pagination devrait être continue ; l'ouvrage devrait normalement débuter à la page 9. | Maxime Najac |
| p. 1 | Vita de Pierre de Fermat | Mention d'une inhumation en "fosse commune". | Fermat fut inhumé dans l'église des Dominicains (Castres) et non dans une fosse commune. | Maxime Najac |
| p. 2 | Axiome A.3 | Erreur dans la définition de l'élément neutre : il est écrit \(x + 0_E = 0_E\). | Il est évident que l'élément neutre doit laisser le vecteur inchangé. Le résultat correct est \(x + 0_E = x\). | Lydia Rodriguez de la Nava |
| p. 17 | Exercice 8 (Corrigé) | Erreurs de signes lors du développement de la relation de dépendance. Il est écrit \( (2, 2, -2) + (2, 1, 3) - (0, 1, 5) = (0, 0, 0) \). | Remplacer par \( (-2, -2, 2) + (2, 1, 3) + (0, 1, -5) = (0, 0, 0) \). | Maxime Najac |
| p. 38 | Exercice 19 | Confusion de notation : utilisation de \(\mathcal{E}\) au lieu de \(\mathcal{S}\) (erreur propagée dans tout l'exercice). | Remplacer systématiquement \(\mathcal{E}\) par \(\mathcal{S}\) dans l'ensemble de l'exercice pour respecter la définition initiale. | Maxime Najac |
| p. 58 | Exercice 4 (corrigé) | Oubli du terme \(- y\) dans la troisième équation du système. | Remplacer \(x + 2z + t = 0\) par \(x - y + 2z + t = 0\) dans la troisième ligne. | Gabriel Poul |
| p. 60 | Exercice 8 (Corrigé) | Erreur de signe dans l'annotation des opérations élémentaires sur les lignes (première question). Le texte indique \( L_4 \leftarrow L_4 + 2L_1 \) à côté de la matrice, alors que l'opération réellement calculée et reportée dans la matrice est une soustraction. | Remplacer \( L_4 \leftarrow L_4 + 2L_1 \) par \( L_4 \leftarrow L_4 - 2L_1 \). | Maxime Najac |
| p. 62 | Exercice 8 (Corrigé) | Oubli du coefficient 5 lors de la résolution du système pour la troisième question. À la suite de l'équation \( (\alpha - 5)\lambda_4 = 5k - 8 \), il est écrit \( \lambda_4 = \frac{k-8}{\alpha - 5} \) et \( r = \frac{k-8}{\alpha - 5} \). | Remplacer \( \frac{k-8}{\alpha - 5} \) par \( \frac{5k-8}{\alpha - 5} \) dans l'encadré de \( \lambda_4 \) et dans la définition de \( r \). | Maxime Najac |
| p. 88 | Exercice 24 (Énoncé, Q(b)) | Erreur de dimension empêchant le produit et l'addition par blocs : la matrice de l'énoncé est définie avec \(q\) colonnes au lieu de \(p\), soit \(B_2 \in \mathcal{M}_{h,q}\). | Remplacer \(q\) par \(p\) pour garantir la compatibilité des blocs lors de l'empilement vertical : \(B_2 \in \mathcal{M}_{h,p}\). | Maxime Najac |
| p. 94 | Note biographique (R. W. Hamming) | Erreur de chronologie : il est écrit qu'il entre aux Laboratoires Bell en 1956 « à la fin de la guerre » (la guerre s'étant terminée en 1945). | Remplacer l'année 1956 par 1946 : « En 1946, après la guerre, Hamming entre... » (L'année 1956 correspond en réalité à la création du langage Bell 2 mentionnée plus loin). | Maxime Najac |
| p. 104 | Exercice 7 (Corrigé) | Oubli d'une parenthèse dans le calcul de linéarité : \( (P+ \lambda Q(0) \). De plus, il est indiqué que \( P \) est un "polynôme de degré \( n \)" alors qu'il appartient à \( \mathbb{R}_n[x] \). | Remplacer par \( (\lambda P + \mu Q)(0) \) (l'utilisation de deux scalaires clarifie la preuve) et préciser que \( P \) est un polynôme "de degré au plus \( n \)". | Maxime Najac |
| p. 104-105 | Exercice 8 (Corrigé) | Incohérence de notations entre la solution et l'énoncé. La proposition de la solution réutilisait \( f \) et \( g \) de manière contradictoire par rapport aux composées \( f \circ g \) et \( h \circ f \) demandées. Oubli d'une parenthèse à la ligne \( \mathrm{Dim}(g \left( \mathrm{Im}(f) \right) \). | Harmoniser la preuve en utilisant \( g : G \longrightarrow E \) pour l'application surjective et \( h : F \longrightarrow G \) pour l'application injective, conformément à l'énoncé. Ajouter la parenthèse fermante manquante. | Maxime Najac |
| p. 105 | Exercice 9 (Corrigé) | Erreur de logique circulaire dans la partie Analyse (utilisation de l'égalité avec \( \mathrm{Ker}(\mathrm{Id}_E - p) \) qui n'est démontrée qu'à la question 2). Formulation maladroite de l'hypothèse de départ. Redondances de quantificateurs (utilisation de \( \forall x \) après avoir fixé un \( x \)). | Justifier \( p(x_1) = x_1 \) uniquement par la définition du projecteur (\( p(p(y)) = p(y) \)). Reformuler le début de l'Analyse pour ne pas présumer du résultat global. Supprimer les quantificateurs \( \forall x \) superflus et corriger la ponctuation (« Écrivons : »). | Maxime Najac |
| p. 107 | Exercice 10 (Corrigé) | Imprécision théorique : justification de \( P_i(x_j) = 0 \) par l'intersection \( F_i \cap F_j = \{0\} \), ce qui est insuffisant pour \( q \ge 3 \). Erreur d'indice sur le premier élément de la famille de projecteurs (\( P_i \) au lieu de \( P_1 \)). | Justifier \( P_i(x_j) = 0 \) en invoquant plutôt l'unicité de la décomposition dans la somme directe globale \( E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_q \). Remplacer \( \{P_i, \ldots, P_q\} \) par \( \{P_1, \ldots, P_q\} \). | Maxime Najac |
| p. 125 | Exercice 16 (Corrigé) | Incohérence mathématique dans le Nota Bene. Le texte évoque le cas d'une « caractéristique \( p > 0 \) » tout en concluant que \( D^p = 0_{\mathcal{L}(\mathbb{R})} \). D'une part, le corps des réels \( \mathbb{R} \) est de caractéristique nulle. D'autre part, l'opérateur de dérivation s'applique à l'espace des polynômes et non au corps des scalaires lui-même. | Remplacer \( 0_{\mathcal{L}(\mathbb{R})} \) par \( 0_{\mathcal{L}(K[X])} \) et généraliser la phrase à un corps \( K \). Le texte doit devenir : « En effet, sur un corps \( K \) de caractéristique \( p > 0 \), la dérivation \( D \) devient nilpotente car on a \( D^p = 0_{\mathcal{L}(K[X])} \). Et donc \( D \) est de caractère fini. » | Maxime Najac |
| p. 135 | Exercice 24 (Corrigé, Remarques) | La formule de la transposée d'une matrice par blocs telle qu'écrite est fausse (les blocs hors diagonale n'ont pas été échangés) : \(^tM = \begin{pmatrix} ^tA & ^tC \\ ^tB & ^tD \end{pmatrix}\). | Il faut inverser la position des blocs transposés : \(^tM = \begin{pmatrix} ^tA & ^tB \\ ^tC & ^tD \end{pmatrix}\). | Maxime Najac |
| p. 138 | Exercice 27 (Corrigé) | Incohérence à la fin de la démonstration : le texte bascule soudainement sur le calcul de l'inverse de \(I+N\) (en posant \(A=I+N\)), alors que tout l'exercice vise à démontrer que \(I-N\) est inversible. La matrice finale encadrée donne le résultat pour \(A^{-1}\) avec des signes alternés. | Supprimer le passage introduisant \(A = I+N\). Conclure directement sur \((I-N)^{-1} = I + N + N^2 + N^3\) et remplacer la matrice encadrée par : \(\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 + b & a^3 + 2ab + c \\ 0 & 1 & a & a^2 + b \\ 0 & 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). |
Maxime Najac |
| p. 139 | Exercice 28 (Corrigé) | Notation de la matrice de passage trompeuse et contraire aux conventions (Définition 3.23) : la matrice contenant les nouveaux vecteurs exprimés dans l'ancienne base est notée à l'envers \(P_{(v_i) \to (e_i)}\). | Remplacer la notation par \(P_{(e_i) \to (v_i)}\) pour désigner le passage de la base canonique vers la nouvelle base. La formule devient alors mathématiquement cohérente avec les notations : \(M(p_{\pi})_{(e_i)} = P_{(e_i) \to (v_i)} \cdot M(p_{\pi})_{(v_i)} \cdot P_{(e_i) \to (v_i)}^{-1}\). | Maxime Najac |
| p. 140 | Exercice 29 (Corrigé) | Coquille mathématique dans la formule de changement de base. L'ordre de \(P\) et \(P^{-1}\) est inversé pour le calcul de la matrice dans la nouvelle base : \(M(f)_{\mathcal{B}'} = P_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3} \longrightarrow \mathcal{B}' } \cdot M(f)_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3}} \cdot P^{-1}_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3} \longrightarrow \mathcal{B}' }\). | Inverser l'ordre des matrices de passage. La formule correcte est : \(M(f)_{\mathcal{B}'} = P^{-1}_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3} \longrightarrow \mathcal{B}' } \cdot M(f)_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3}} \cdot P_{\mathcal{B}_{\mathbb{R}^3} \longrightarrow \mathcal{B}' }\). | Maxime Najac |
| p. 141 | Exercice III.30, Q2 (Corrigé) | Erreur de quantificateur : "Autrement dit, pour toute matrice inversible \(P\), \(A = P^{-1} BP\)." | Remplacer par : "Autrement dit, il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(A = P B P^{-1}\)." | Maxime Najac |
| p. 141 | Exercice 30, Q3 (Corrigé) | Raccourci logique nuisant à la rigueur de la démonstration par l'absurde. Il est conclu que \(\mathrm{Tr}(AB-BA) = \mathrm{Tr}(I_n)\) est impossible uniquement car \(\mathrm{Tr}(AB-BA) = 0\), sans préciser la valeur de \(\mathrm{Tr}(I_n)\) pour exhiber la contradiction. | Ajouter l'explicitation de la trace de l'identité : "De plus, la trace de la matrice identité d'ordre \(n\) est égale à \(n\) (\(\mathrm{Tr}(I_n) = n\)). L'égalité aboutit donc à la contradiction \(0 = n\), ce qui est absurde car \(n \geqslant 1\)." | Maxime Najac |
| p. 206 | Exercice 36 | Décalage de lettrage dans la seconde moitié du corrigé. |
Une coquille de mise en page a décalé le lettrage de la fin du corrigé par rapport à l'énoncé : • Les réponses aux questions d) i. et d) ii. sont imprimées sous les lettres e) i. et e) ii. • La réponse à la question e) (récurrence) est imprimée sous la lettre f). • La réponse à la question f) (unicité) est imprimée sous la lettre g). |
Maxime Najac |
| p. 206 | Exercice 25 | Oubli d'une définition et imprécisions logiques dans la démonstration du corrigé. |
À corriger : • Énoncé (Définition) : Au tout début de la définition, avant de parler de cycle, insérer : « On appelle support d'une permutation \(s\) de \(E\), noté \(\mathrm{supp}(s)\), l'ensemble des éléments qui ne sont pas fixés par \(s\) : \(\mathrm{supp}(s) = \{x \in E \mid s(x) \neq x\}\). » • Question b)i. : Remplacer la phrase « Alors \(j-i\in\mathbb{N}\) et \(\sigma^{\,j-i}(a_1)=a_1\) ou bien... » par : « Puisque \(\sigma\) est bijective, on peut composer par \(\sigma^{-i}\) pour obtenir \(a_1 = \sigma^{j-i}(a_1)\). Comme \(j-i \geq 1\), \(a_1\) est le premier élément de l'ensemble \(\{a_1, \sigma(a_1), \dots, \sigma^{j-i-1}(a_1)\}\), ce qui montre directement que \(j-i \in E\). » • Question e)i. (Cas 3) : Remplacer « et \(k\notin \mathrm{supp}(c_1)\), donc \(c_1\) fixe \(k\). » par : « et \(k \notin \mathrm{supp}(c_1)\). Comme \(\mathrm{supp}(c_1)\) est stable par \(\sigma^{-1}\), \(\sigma(k)\) ne peut pas appartenir à \(\mathrm{supp}(c_1)\) (sinon \(k = \sigma^{-1}(\sigma(k))\) y appartiendrait également). Puisque \(\sigma(k) \notin \mathrm{supp}(c_1)\), la permutation \(c_1\) fixe \(\sigma(k)\). » • Question f) (Unicité) : Remplacer le paragraphe « Il reste à voir que sur ce support commun... [...] à l'ordre des éléments près. » par : « Il reste à vérifier que ces deux cycles sont strictement égaux en tant que fonctions. Pour tout \(y \in \mathcal{O}(x)\), on a \(c_i(y) = \sigma(y) = d_j(y)\). Par ailleurs, pour tout \(y \notin \mathcal{O}(x)\), \(y\) n'est ni dans le support de \(c_i\) ni dans celui de \(d_j\), d'où \(c_i(y) = y = d_j(y)\). Les deux permutations coïncident sur tout \(\{1, \dots, n\}\) : elles sont rigoureusement égales (\(c_i = d_j\)). » |
Maxime Najac |
| p. 236 | Exercice 20 (Énoncé et Corrigé) | Deux erreurs : 1. Insuffisance théorique (Énoncé Q4) : Le Théorème Fondamental de l'Évaluation des Actifs exigeant une probabilité strictement positive (\(\pi > 0\)) est justifié à tort par le Lemme de Farkas (qui ne garantit que \(\pi \ge 0\)). 2. Oubli d'un indice transposée (Corrigé Q3.a) : La propriété de la transposée d'un produit matriciel telle qu'écrite est évidemment fausse et dimensionnellement (\(^t\!(A B) = ^t\!B A\)). |
1. Dans l'énoncé : Remplacer la référence au "Lemme de Farkas" par le "Lemme de Stiemke" dans le texte et la note de bas de page. Modifier l'alternative du lemme : existence d'un vecteur \(x > 0\) tel que \(Ax = 0\), OU d'un vecteur \(y\) tel que \(^t\!A y \ge 0\) avec \(^t\!A y \neq 0\). La résolution de l'exercice n'est pas impactée. 2. Dans le corrigé : Il suffit d'ajouter le symbole transposée : \(^t\!(AB) = ^t\!B \, ^t\!A\) et corriger la ligne de calcul ainsi : \(\alpha = (^t\!\pi M) H = ^t\!(^t\!M \pi) H = ^t\!P_0 H = 0\). |
Maxime Najac |
| p. 238 | Exercice 21 | Erreur de signe dans la matrice \(M(\lambda)\) : le premier coefficient est \(-e^{-k(\lambda)}\), ce qui aboutit à l'équation de dispersion \(\tanh(k(\lambda)) = -\frac{b}{a}\) et contredit la question 1. | Supprimer le signe moins. Le premier coefficient de la matrice doit être \(e^{-k(\lambda)}\) pour obtenir l'égalité \( \tanh(k(\lambda)) = \frac{b}{a} \). | Maxime Najac |
| p. 268 | Exercice 21 (Corrigé, Q(a) | Factorisation fausse : le calcul du déterminant partait de \((-e^{-k(\lambda)}) \cdot (2b \cosh \dots) - \dots\) pour aboutir miraculeusement à \(2 e^{-k(\lambda)} \big(b \cosh \dots - a \sinh \dots \big)\). | Le calcul du déterminant débute sans le signe moins : \(\det M(\lambda) = (e^{-k(\lambda)}) \cdot (2b \cosh(k(\lambda))) - (2\sinh(k(\lambda))) \cdot (a e^{-k(\lambda)})\). | Maxime Najac |
| p. 257 à 259 | Exercices 14, 15 et 16 | Décalage de numérotation : les corrigés ont été intervertis par rapport aux énoncés. |
Pour trouver la bonne solution, suivez cette correspondance : • Le corrigé de l'exercice 14 (Bras robotique) est imprimé sous le numéro 15. • Le corrigé de l'exercice 15 (Électrocinétique) est imprimé sous le numéro 16. • Le corrigé de l'exercice 16 (IA -- MLG) est imprimé sous le numéro 14. |
Maxime Najac |
| p. 284 | Exercice 30 énoncé question 2 | L'énoncé définit \( f \) comme un endomorphisme de \( \mathbb{C}^3 \), mais utilise une base et une matrice de dimension \( n \). | Remplacer par : « Soit \( f \) l'endomorphisme de \( \mathbb{C}^n \) qui dans la base... » | Maxime Najac |
| p. 284 | Exercice 30 énoncé question 2 | L'énoncé oublie d'exclure le cas trivial (matrice nulle) pour la généralisation à l'ordre \( n \), ce qui fausse l'équivalence finale. | Ajouter une précision similaire à la question 1 : « (On suppose que les coefficients \( a_1, \dots, a_{n-1} \) ne sont pas tous nuls). » | Maxime Najac |
| p. 290 | Exercice 48 (Énoncé et Corrigé) | Incohérence dimensionnelle sur la définition des polarisabilités propres (manque d'un facteur \(\alpha\)), omission de l'inversion explicite de la matrice dans le corrigé (exigée par la consigne de la Q1), et croisement confus des indices \(\pm\) entre la résolution algébrique et l'interprétation physique (redshift/blueshift) de la remarque finale. | Dans la question 1, expliciter la notation \(M P = \alpha E\) et calculer explicitement \(M^{-1}\) dans le corrigé. Dans la question 3, redéfinir les polarisabilités propres comme les valeurs propres de \(\alpha M^{-1}\) (ce qui donne \(\frac{\alpha}{1 \mp \alpha C}\)). Enfin, abandonner les indices \(\pm\) au profit des indices explicites "sym" et "anti" (pour \(\lambda\), \(v\), \(\mu\) et \(\omega\)) dans toute la question 3 et la remarque finale afin d'éviter toute inversion physique. | Maxime Najac |
| p. 291 | Exercice 47 (Énoncé et Corrigé) | Incohérence dimensionnelle dans la matrice \(A\) du système différentiel. Les coefficients initiaux lient des grandeurs d'unités incompatibles (ex: addition d'une accélération et d'une vitesse au carré), ce qui rend le modèle physiquement erroné. | Modifier la matrice \(A\) pour rétablir l'homogénéité (déplacement du facteur \(k\)) en la remplaçant par : \( A = \begin{pmatrix} -\nu k^2 & 0 & -i g k \\ 0 & -\nu k^2 & - g k \\ -i & 0 & 0 \end{pmatrix} \). Le polynôme caractéristique restant exactement le même, la résolution mathématique n'est pas impactée. Ajuster simplement les composantes des vecteurs propres dans le corrigé : \(x = i \lambda' z\) et \(y = \frac{g k}{-\nu k^2 - \lambda'} z\). | Maxime Najac |
| p. 292 | Exercice 53 (Énoncé et Corrigé) | La matrice initiale du modèle à deux groupes \(A = \begin{pmatrix} -\alpha_1 + \mu & \beta \\ \mu & -\alpha_2 - \beta \end{pmatrix}\) implique un discriminant strictement positif au point de bascule, rendant impossible l'apparition des valeurs propres complexes et des oscillations étudiées dans le corrigé de la question 2. | Changement du modèle physique (couplage flux neutronique / déplacement mécanique) et de la matrice associée : \(A = \begin{pmatrix} -\alpha_1 + \mu & -\beta \\ \gamma & -\alpha_2 \end{pmatrix}\) (avec \(\beta\gamma > \alpha_2^2\)). Le polynôme caractéristique et la correction ont été mis à jour en conséquence pour valider l'étude du régime oscillatoire. | Maxime Najac |
| p. 310 | Exercice 10 (Corrigé) | Erreur de dimension : \(u\) est défini sur \(K^n\) et le polynôme caractéristique utilise \(I_n\), alors que la matrice \(A\) comporte \(n+1\) lignes et colonnes. | Remplacer \(K^n\) par \(K^{n+1}\) et \(I_n\) par \(I_{n+1}\). | Maxime Najac |
| p. 310 | Exercice 10 (Corrigé) | Erreur de logique mathématique dans la conclusion encadrée : présence d'un quantificateur universel (\(\forall i\)) injustifié devant l'égalité définissant l'ensemble global du spectre \(\mathrm{Sp}_{K}'(A)\). | Supprimer \(\forall i \in \{1,\ldots, n\}, \quad\) au début de la formule du spectre, pour écrire directement \(\mathrm{Sp}_{K}'(A) = \left\{ -a_1, \ldots, -a_n, \sum_{i=1}^n a_i \right\}\). | Maxime Najac |
| p. 319 | Exercice 15 question (c) | Erreur de signe à la dernière ligne : égalité posée \(= (\lambda - 1)(\lambda + 1)^2\) alors que la ligne précédente donnait \((1-\lambda)\dots\) | Ajouter un signe moins ou conserver l'ordre initial. Le résultat correct est \((1 - \lambda)(\lambda + 1)^2\) ou \(-(\lambda - 1)(\lambda + 1)^2\). | Maxime Najac |
| p. 355 | Exercice 25 (Corrigé) | Raisonnement circulaire sur le lemme des noyaux, inversion des indices des projecteurs par rapport à l'énoncé, et erreur conceptuelle affirmant à tort la non-unicité des projecteurs selon le couple de Bézout choisi. | Réalignement des indices (\(\operatorname{pr}_1 = U_2(f) \circ Q_2(f)\) pour projeter sur \(\operatorname{Ker}(Q_1)\)). Restructuration logique s'appuyant sur la somme directe acquise du lemme des noyaux. Correction de la remarque finale par la preuve algébrique de l'unicité absolue : pour tout autre couple de Bézout \((U_1 + S Q_2, U_2 - S Q_1)\), le projecteur généré est \(\widetilde{\pr}_2 = (U_1 + S Q_2)(f) \circ Q_1(f) = \pr_2 + S(f)Q(f)\). Puisque \(Q\) annule \(f\), \(Q(f)=0\), d'où \(\widetilde{\pr}_2 = \pr_2\). | Maxime Najac |
| p. 361 | Exercice 30 question 1 | L'énoncé introduit \( a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{C}^* \), ce qui exclut \( a_3 = 0 \), rendant l'étude du sous-cas « Si \( a_3 = 0 \) » contradictoire. | Remplacer l'hypothèse initiale par \( a_1, a_2 \in \mathbb{C}^* \) et \( a_3 \in \mathbb{C} \). | Maxime Najac |
| p. 362 | Exercice 30 question 2.(a) | Affirmation \( M_{\mathcal{B}}(f) \neq 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} \) sans avoir précisé dans l'énoncé que la famille des \( a_i \) n'est pas identiquement nulle. | Préciser au début de la question 2 : « où au moins l'un des \( a_i \) (pour \( i < n \)) est non nul ». | Maxime Najac |
| p. 363 | Exercice 30 question 2.(b) | Oubli des carrés dans la somme du coefficient inférieur droit de la matrice \( f(f - \lambda_0 I) \) : \(\sum_{i=1}^{n-1} a_i + a_n (a_n - \lambda_0)\). | Ajouter les carrés : \(\sum_{i=1}^{n-1} a_i^2 + a_n (a_n - \lambda_0)\) ou utiliser la notation plus compacte \(\sigma + a_n (a_n - \lambda_0)\). | Maxime Najac |
| p. 369 | Exercice 33 (Corrigé) | Incohérence dans les notations de l'indéterminée (mélange de \(x\) minuscule pour l'espace \(\mathbb{R}_n[x]\) et de \(X\) majuscule pour les polynômes), présence d'une phrase redondante faisant doublon après la preuve que \(f\) est un projecteur, et abus de langage mathématique dans l'encadré final (« diagonalisable sur \(\mathbb{R}_n[x]\) »). | Uniformiser la notation en utilisant le \(X\) majuscule partout (ex: \(\mathbb{R}_n[X]\)). Supprimer la phrase redondante « Puis, en évaluant \(f\) en un polynôme \(P\), il vient assez naturellement que \(f^2(P) = f(P)\) ». Remplacer la multiplication formelle par la composition \(A(f) = f \circ (f - \mathrm{id})\). Enfin, préciser que le polynôme est scindé à racines simples « sur \(\mathbb{R}\) » et écrire simplement dans la conclusion que « \(f\) est diagonalisable ». | Maxime Najac |
| p. 369 | Exercice 34 | Oubli de la précision du corps de base et mention anticipée erronée de la diagonalisabilité : Soit \(f : E \to E\) un endomorphisme diagonalisable sur un espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\). | Préciser que l'on travaille sur les complexes et retirer le mot « diagonalisable » : Soit \(f : E \to E\) un endomorphisme sur un espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\) sur le corps \(\mathbb{C}\). | Maxime Najac |
| p. 384 | Exercice 40 (Corrigé) | Écriture prématurée et incohérente de la matrice de Jordan \(A'\) sous la forme d'une matrice explicite à quatre blocs (\(J_1(1)\) à \(J_4(1)\)). Cette écriture sous-entend à tort que \(\dim(E_{(1)}) = 4\) (la matrice serait alors diagonalisable, ce qui contredit le polynôme minimal) et entre en conflit avec la notation usuelle où \(J_k\) désigne un bloc de taille \(k\) (ce qui correspondrait à une matrice de taille \(10 \times 10\)). | Supprimer la matrice \(A'\) explicite au début de la démonstration et la remplacer par une affirmation générique : « Puisque le polynôme caractéristique \(P_A\) est scindé, la matrice est semblable à une matrice de Jordan \(A'\) constituée de \(k\) blocs de Jordan associés à la valeur propre 1, où \(k = \dim(E_{(1)})\). » | Maxime Najac |
