Par Joseph Grifone et Maxime Najac
L'extension numérique du livre. Découvrez des preuves alternatives, des points historiques et des articles de fond qui n'ont pas trouvé leur place dans l'édition papier.
Bibliothèque de documents de recherche.
Une étude simplifiée de la théorie des formes harmoniques sur les variétés compactes. Ce document développe l'approche fonctionnelle du théorème de Hodge.
Publication dans les Annales de l'Institut Fourier, Tome 22, n°1.
Suite de l'étude sur les connexions et structures presque tangentes.
Suivi des corrections de la 7ème édition.
Retrouvez ici les correctifs officiels et mises à jour pour la 7ème édition du cours théorique d'Algèbre Linéaire rédigé par Joseph Grifone et Maxime Najac.
| Page | Section | Erreur constatée | Correction | |
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| p. 269 | Exercice 25 | Dans la matrice $R$, le coefficient $R_{1,3}$ est noté $1/\sqrt{6}$ (ou $1$ à l'intérieur de la matrice factorisée). | Le coefficient correct est $\sqrt{3}/\sqrt{6}$, soit $1/\sqrt{2}$, correspondant au produit scalaire $\langle \varepsilon_1, v_3 \rangle$. | |
| p. 268 | Exercice 23 | Confusion sur les indices des produits scalaires lors de la définition de l'adjoint : les espaces $E$ et $E'$ sont intervertis ou non précisés. | L'identité correcte doit mentionner les espaces respectifs : $\langle f(x), y \rangle_{E'} = \langle x, f^*(y) \rangle_{E}$ pour tout $x \in E$ et $y \in E'$. |
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| p. 271 | Exercice 29 | L'indication écrit : « Soit $y \in H$, c'est-à-dire $\langle y, z \rangle = 0$ pour tout $z \in E$. » Cette formulation implique $y = 0_E$. | Le vecteur $z$ est fixé par l'énoncé. $H$ est l'hyperplan orthogonal à $z$ ($z \neq 0_E$) : $H = \{y \in E \mid \langle y, z \rangle = 0\}$. La condition de nullité du produit scalaire ne porte que sur le vecteur $z$ spécifique. |
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| p. 302 | Exercice 10 question a) | Erreur de calcul dans le dernier vecteur de la base orthogonale : l'indication donne \(v_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\), mais ce vecteur n'est pas orthogonal à \(v_2\) pour la forme quadratique étudiée (le produit scalaire associé donne \(-6\)). | L'inversion correcte du système (\(y_1 = x_1 + x_2\), \(y_2 = x_2 + x_3\), \(y_3 = x_3\)) donne le vecteur \(v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). | - |
| p. 322 | Exercice 2 b) | Erreur dans la définition de la forme hermitienne. Il est écrit $h_2(A,B) = \text{Tr} \, \overline{A} \, B$. Avec cette définition (qui n'utilise que la matrice conjuguée et non transconjuguée), la forme n'est ni positive ni définie (ex: avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, on obtient -2). Ce n'est donc pas un produit scalaire. | Il manque le symbole de transposition. La bonne définition du produit scalaire de Frobenius utilise la matrice transconjuguée (adjointe) : $h_2(A,B) = \text{Tr}({}^t\overline{A}B)$ ou $\text{Tr}(A^*B)$. | - |
| p. 325 | Indication Exercice 4 | Erreur de signe dans l'indication pour la complétion du deuxième carré : l'indication suggère d'utiliser le terme $2|x_2 - ix_3|^2$, mais son développement donne des produits croisés avec des signes opposés à ceux de la forme étudiée ($-i\overline{x}_2 x_3 + ix_2\overline{x}_3$). | La complétion correcte du carré nécessite une addition pour retrouver les bons produits croisés : il faut utiliser le terme $2|x_2 + ix_3|^2$. | - |
| p. 325 | Indication Exercice 6 | Oubli de la racine carrée dans l'expression de la norme de la matrice à la fin de l'indication. Il est écrit : $|| A || = \sum_{i,j=1}^n |x_{ij}|^2$. En l'état, cette formule ne respecte pas l'homogénéité absolue d'une norme. | Il faut ajouter la racine carrée (ou élever la norme au carré) pour être en accord avec la définition de la norme issue d'un produit scalaire : $|| A || = \sqrt{\sum_{i,j=1}^n |x_{ij}|^2}$ ou $|| A ||^2 = \sum_{i,j=1}^n |x_{ij}|^2$. | - |
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